Matematik i støbeskeen

Matematikkens begyndelse strækker sig langt tilbage i tiden. Nøjagtigt hvor langt er svært at afgøre, men der kendes genstande med antydning af matematiske aktiviteter, der er mange tusinde år gamle. Matematikken har udviklet sig ujævnt igennem disse årtusinder. Nogle forholdsvis korte tidsrum, hvor nye opdagelser blev gjort, har efterfulgt lange perioder med beskeden matematisk aktivitet.

Siden den videnskabelige revolution i det sekstende og det syttende århundrede har matematikken dog oplevet en konstant markant vækst, og den matematiske metode er i dag anerkendt som en helt afgørende forudsætning for den moderne civilisation.

Ishango-knoglen – matematik for 20.000 år siden

Matematik har sit udspring i menneskehedens tidlige behov for at tælle og måle i forbindelse med både størrelser og rumlige objekter. Et interessant tidligt matematisk artefakt blev i 1960 fundet ved bredden af Edwardsøen på grænsen mellem Uganda og Congo og kendes som Ishango-knoglen. Knoglen har fået sit navn efter et lille kulturfolk – Ishangofolket – som levede på dette sted i forhistorisk tid. Knoglen er med kulstof 14-metoden dateret til at være omkring tyve tusinde år gammel.

Ishangomennesket har tilsyneladende lavet udskæringer i knoglen efter en slags mønster, men det er ikke klart, hvad stregerne eller mærkerne på knoglen præcist repræsenterer. Udskæringerne er højst sandsynlig blot en række af tal, men muligvis er der også lavet noget egentlig aritmetik på knoglen. Det er også blevet foreslået, at knoglen kan have været en månekalender, men det forbliver alt sammen spekulationer. Fundet af Ishango-knoglen støtter teorien om, at den senere matematik i det gamle Egypten i relation til pyramiderne og til landmåling har afrikanske rødder.

Egyptisk matematik

Udviklingen af en civilisation i det gamle Egypten var stærkt afhængig af tidevandet i floden Nilen og de årlige oversvømmelser, der var en afgørende forudsætning for både landbruget og livet i Egypten som helhed. Ved en oversvømmelse var det dog umiddelbart umuligt at se grænserne mellem de forskellige landbrug, og det var derfor vigtigt at holde styr på fordelingen af landstykker ved landmåling. Fra et matematisk synspunkt er det interessant, at navnet for det matematiske felt geometri er afledt af det græske ord geometria, som betyder måling af land, med andre ord landmåling. Den græske historiker Herodot brugte dette ord i det femte århundrede f.Kr. i sit store epos om Perserkrigene, hvori han skriver, at ‘geometria’ netop blev anvendt i det gamle Egypten til at finde den rette fordeling af landstykker efter Nilens oversvømmelser.

Hovedbedrifterne udført af de tidlige egyptiske matematikere involverer praktiske færdigheder i tilknytning til måling ikke mindst i forbindelse med bygningen af de storslåede pyramider, hvoraf den ældste dateres til omkring 2700 f.Kr. Specielt skal nævnes, at den største af alle pyramider, Kheopspyramiden, har en kvadratisk grundflade med sidekanter af længde 230,3 meter med en fejlmargin på mindre end 0,01 %.

Hovedkilden til oldtidens egyptiske matematik er en papyrus fra omkring 1650 f.Kr., som er kopieret af Ahmes fra en ældre tekst fra omkring 1850 f.Kr., der ikke længere eksisterer. Papyrussen er navngivet Rhind-papyrussen efter den britiske opdagelsesrejsende Henry Rhind, som købte den i 1858. Papyrussen, der nu findes på British Museum, indeholder tabeller af tal og en samling på omkring 80 problemer, der er blevet brugt ved uddannelsen af skrivere. Nogle af problemerne er iklædt en praktisk formulering, såsom at bestemme, hvor meget brød eller hvor meget øl der kan fremstilles fra en given mængde korn, at udregne arealet af en rektangulær mark eller volumenet af en cylindrisk silo, samt hvordan man bestemmer hældningen af en pyramide.

Mange problemer er dog ikke forbundet med praktiske situationer. Løsningerne blev fundet ved brug af regler, som skriverne lærte; med mange af problemerne fulgte delvise eller endog fuldstændige løsninger. En af disse regler omhandler arealet af en cirkel og siger, at man finder arealet ved at tage diameteren i cirklen, subtrahere 1/9 af den og så kvadrere den resterende del.

Denne fremgangsmåde giver en ganske god tilnærmelse til det eksakte areal af en cirkel, og det svarer til en tilnærmet værdi af tallet π på omkring 3,16 i nutidig skrivemåde. Det egyptiske talbegreb bestod af de positive hele tal, stambrøker (reciprokke til hele tal) og brøken 2/3. Egypterne havde symboler for tallene 1, 10, 100, osv., op til 1.000.000, og de konstruerede symboler for andre positive hele tal ved at gentage disse symboler. De havde detaljerede procedurer for multiplikation og division baseret på en simpel metode: Dublering og halvering.

Mesopotansk matematik

I oldtiden udvikledes en civilisation fra omkring 3500 f.Kr. af det sumeriske folk i landområdet mellem floderne Eufart og Tigris i det nuværende Irak. Landet blev kaldt Mesopotamien, som netop betyder ‘mellem floderne’. Sumererne var det første folkeslag, som byggede større byer. Omkring 1700 f.Kr. erobrede herskeren i byen Babylon hele området omkring sin by, og byen udviklede sig til en imponerende metropol. I eftertiden er navnet Babylon lidt ukorrekt blevet knyttet til alle kulturelle og videnskabelige bedrifter opnået af folket i Mesopotamien.

Mesopotansk, eller babylonsk, matematik er den mest indgående studerede matematiske tradition før grækerne, og det er formodentlig den tradition, som har haft størst betydning for senere udviklinger i matematikken. Dette skyldes i høj grad, at skrivning i Mesopotamien blev udført med en stylus (som regel en bambusgriffel) på en tavle af vådt ler, som blev tørret i solen, når teksten var færdig, og at disse lertavler bedre kunne overleve til eftertiden end den mere forgængelige papyrus. Begyndelsen til matematik i Mesopotamien kan spores tilbage til omkring 3300 f.Kr., hvor behovet for en mere systematisk tilgang til bogholderi og opmåling af landarealer kaldte på udvikling af hensigtsmæssige målesystemer.

Omkring 2500 f.Kr. blev det i Babylonien til en specialiseret beskæftigelse for nogle få udvalgte at skrive og regne. Kort før 2000 f.Kr. blev det første positionsbaserede talsystem udviklet til brug i den stærkt centraliserede og bureaukratiske administration.

Systemet var baseret på tallet 60 (trestalssystemet), og elementer af systemet kan stadig genfindes i vore dages tidsinddeling og vinkelmåling. Som det nok vil være uundgåeligt med virkelige matematikere, udvidede skriverne imidlertid deres matematiske idéer langt ud over grænserne for den praktiske nødvendighed. Til øvelsesformål skabte de i denne proces således de første rent matematiske opgaver, f.eks. division med store runde tal, inklusive tal, for hvilke det reciprokke tal giver en brøk, der ikke slutter i positionssystemet baseret på 60. Babylonsk matematik nåede sit højdepunkt omkring 1800 f.Kr., hvor metoderne til at løse ligninger af første og anden grad blev udviklet baseret på algebraiske teknikker som kvadratets fuldstændiggørelse – i brug også i vore dage. Til oplæring af studenter brugte man kun løsningsmetoden til lineære ligninger, hvorimod de mere raffinerede opgaver på det udgravede kildemateriale i form af lertavler tjente til at træne lærernes regnefærdigheder og til at vise deres tekniske beherskelse af metoderne.

Efter 1600 f.Kr. opløstes skolerne for professionelle skrivere, og arbejdet med mere avanceret matematik ophørte.

I anden halvdel af det første årtusinde f.Kr. indtraf en ny opblomstring i babylonsk matematik i tilknytning til udvikling af forbedrede metoder til astronomiske beregninger.

Mayansk matematik

Mayaerne er skaberne af den mest avancerede civilisation i det gamle Amerika, som varede i over 3.000 år, fra omkring 2000 f.Kr. til 1521, da spanske erobrere invaderede Mexico. Spanierne opdagede, at mayaerne havde skabt et stort imperium kontrolleret ved et netværk af tæt befolkede bystater. De havde et skriftsprog i form af komplicerede hieroglyffer skrevet på både sten og papir lavet af bark.

Mayaerne var ivrige astronomer, der iagttog stjernehimlen nøje, og de udviklede en meget nøjagtig kalender baseret på studier af bevægelserne af solen, månen og Venus. De havde højtudviklede kunstarter såsom billedhuggerskulptur, malerkunst og pottemageri samt egentlige videnskaber såsom lægevidenskab. Der var mange handelsfolk i mayaernes samfund, men hovedparten beskæftigede sig med landbrug og dyrkede korn og andre afgrøder i et avanceret landbrugssystem, som indbefattede overrisling.

Mayaerne havde udviklet et interessant talsystem med tyve symboler, som repræsenterede tallene et til tyve. De skrev tallene ud ved at bruge streger og prikker, hvor hver prik repræsenterede 1 og hver streg repræsenterede 5. Ved at placere prikker oven over streger kunne de herved konstruere symboler for tallene 1 til 20 (se boks nederst i Dommedag udsat).

Talsystemer med basis 20 bruges stadig i vore dage af hopiindianerne i det nordøstlige Arizona og det arktiske folk inuitterne (eskimoerne). Det er næsten sikkert, at baggrunden for talsystemer med tyve som basis skal findes hos oldtidsfolk, der talte på både fingre og tæer. Det fuldstændige talsystem, som mayaerne brugte, var baseret på 18 og 20, således at tallet 360 var inkluderet.

Mayaerne udførte astronomiske målinger med bemærkelsesværdig nøjagtighed ved at benytte to pinde anbragt i et kryds og betragte de astronomiske objekter under den rette vinkel dannet af pindene. På basis af målinger med sådanne primitive instrumenter var mayaerne i stand til at beregne årets længde til 365,242 dage (nutidens værdi er 365,242198 dage).

To yderligere bemærkelsesværdige beregninger vedrører længden af månemåneden. I Copan (nu på grænsen mellem Honduras og Guatemala) fandt mayaastronomerne, at 149 månemåneder varede 4.400 dage, hvilket giver 29,5302 dage som længden af månemåneden. I Palenque i Mexico beregnede de, at 81 månemåneder varede i 2.392 dage, hvilket giver 29,5308 dage som længden af månemåneden. Nutidens værdi er 29,53059 dage.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik